Умова перпендикулярності прямих: к/= EMBED Equation.3 .
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1):
у-у1=к(х-х1)
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):
EMBED Equation.3
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
EMBED Equation.3
11. Загальне рівняння прямої:
Ах+Ву+С=0, (А2+В2?0).
12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0:
?= EMBED Equation.3
13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R:
(х-х0)2+(у-у0)2=R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в:
EMBED Equation.3 (1)
Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):
r=a-Ex; r/=a+Ex,
де Е= EMBED Equation.3 - ексцентриситет еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в:
EMBED Equation.3 (2)
2
нерівностями a?x?b, y1(x)?y?y2(x), z1(x, y)?z?z2(x, y)
де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:
EMBED Equation.3 .







Для заміток.









І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х'=х-а, у'=у-в,
де О' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х';у'] - її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х= х'cos?- у'sin?; y= x'sin?+ y'cоs?,
де (х,у) - старі координати точки, [х',у'] - її нові координати, ? - кут повороту.
3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2):
d= EMBED Equation.3
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному відношенні ?:
x= EMBED Equation.3 y= EMBED Equation.3 .
При ?=1, маємо координати середини відрізка:
х= EMBED Equation.3 у= EMBED Equation.3 .
5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3):
S= EMBED Equation.3 .
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к=tg? (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.
7. tg?= EMBED Equation.3 - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/.
Умова паралельності прямих: к/=к.
1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в:
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t).
II. Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
Основні теореми про границі:
а) EMBED Equation.3
б) EMBED Equation.3
Зокрема, EMBED Equation.3
в) EMBED Equation.3
Чудові границі:
а) EMBED Equation.3 б) EMBED Equation.3
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429…
4. Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту EMBED Equation.3 аргументу х:
EMBED Equation.3
5. Умова неперервності функції у=f(x):
EMBED Equation.3
Основна властивість неперервної функції:
EMBED Equation.3
6. Похідна
EMBED Equation.3
Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число:
EMBED Equation.3 , (1)
де (хі, уі) є ?Si (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок ?Si.
Якщо f(x, y)?0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y).
2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a?x?b, y1(x)?y?y2(x),
де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:
EMBED Equation.3 .
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах ? і r,
де x=r cos?, y=rsin? має вигляд:
EMBED Equation.3
Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:?????, r1(?)?r?r2(?), то
EMBED Equation.3
4. Якщо ?=?(х, у) – поверхнева густина пластини S, то її
маса є EMBED Equation.3 (2)
25
(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при ?=1 отримуємо формулу площі пластинки EMBED Equation.3
5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
де ?=?(х, у) – поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S визначаються за
формулами: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , (3)
де m – маса пластинки.
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо ?=1.
7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
де ?=?(х, у) – поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число:
EMBED Equation.3 , (4)
де (xi, yi, zi) є ?Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок ?Vi .
Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об?єм V.
9. Об?єм тіла V дорівнює: EMBED Equation.3 .
10. Якщо область інтегрування V визначається
26
Фокуси гіперболи F(c;0) і F/(-c;0), де с2=а2+в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):
r=?(Ex-a), r/=?(Ex+a),
де Е= EMBED Equation.3 - ексцентриситет гіперболи.
18. Асимптоти гіперболи (2):
у= EMBED Equation.3 .
19. Графік оберненої пропорційності
ху=с (с?0)
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р:
у2=2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2).
21. Графік квадратного тричлена
у=Ах2+Вх+С
вертикальна парабола з вершиною
EMBED Equation.3
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у:
? EMBED Equation.3 tg?= EMBED Equation.3
Прямокутні координати точки з полярними координатами
? і ?.
x=? cos?, y=? sin?.
23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)
3
f?/(x0)=0 або f?/(x0) не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0:
f?/(x0)=0, f?/(x0-h1)f?/(x0+h2)<0 при довільних досить малих h1>0 і h2>0, або
f?/(x0)=0, f??/(x0)?0
12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f??/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f??/(x)<0.
Необхідна умова точки перегинy графіка функції
y=f(x) при x=x0: f??/(x0)=0 або f??/(x0)не існує.
Достатня умова точки перегину при х=х0:
f ??(x0)=0, f??/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0.
13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [?,?] і f(?)f(?)<0, то корінь ? рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:
а) EMBED Equation.3 (метод хорд)
б) EMBED Equation.3 , де f ?(?)?0; f(?)-f?(?)>0 (метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х: dx=?x. Диференціал функції у=f(x):dy=y?dx. Зв’язок приросту ?y функції з диференціалом dy функції:
?y=dy+??x, де ?>0 при ?х>0.
Таблиця диференціалів функцій.
1) dun=nun-1du; 7) d(ctg u)=- EMBED Equation.3
2) dau=auln a du (a>0); deu=eudu; 8) d(arcsin u)= EMBED Equation.3
3)d(logau)= EMBED Equation.3 ; 9) d(arccos u)=- EMBED Equation.3
6
9. Таблиця 2.
Характер частинного розв?язку z-неоднорідного рівняння у??+ру?+qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).
A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.
Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К: x=x(t), y=y(t) (t є [?, ?]), дорівнює
EMBED Equation.3 (1)
Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (a?x?b), то
23
EMBED Equation.3
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К.
Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К.
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К: x=x(t), y=y(t) (t є [?, ?]), визначається за формулою:
EMBED Equation.3 (2)
Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [?, ?]), то
EMBED Equation.3 .
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К.
3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і
EMBED Equation.3 , (3)
де (х1,у1) – початкова точка шляху і (х2, у2) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y).
24
графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.
Правила і формули диференціювання:
а) C?=0; б) (U+V-W)?=U?+V?-W?;
в) (CU)?=CU?; г) (UV)?=U?V+V?U;
д) EMBED Equation.3 е) EMBED Equation.3
є) EMBED Equation.3 ; и) (хn)?=n xn-1, x?=1;
і) (sin x)?=cos x; ї) (cos x)?=-sin x;
й) (tg x)?=sec2x; к) (сtg х)?=-cosec2x;
л) EMBED Equation.3 м) (аx)?=ax ln a, (ex)?=ex.
н) (аrcsin x)?= EMBED Equation.3 o) (arccos x)?= EMBED Equation.3 ;
п) (arctg x)?= EMBED Equation.3 р) (arcctg x)?= EMBED Equation.3
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f?/(?), де ? є (х1,х2).
8. Функія у=f(x) зростає, якщо f?/(x)>0, і спадає, якщо f?(x)<0.
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 якщо границя з права існує.
10. Локальна формула Тейлора:
f(x)=f(x0)+f?/(x0)(x-x0)+…+ EMBED Equation.3
де f(n)(x) існує в деякому повному околі точки х0.
11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0:
5
6) EMBED Equation.3 .
7) EMBED Equation.3
8) EMBED Equation.3
9) EMBED Equation.3 .
10) EMBED Equation.3 .
11) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
12) EMBED Equation.3 де ??0.
13) EMBED Equation.3
14) EMBED Equation.3
Основні методи інтегрування.
а) метод розкладу:
EMBED Equation.3 , де f(x)=f1(x)+f2(x)
б) метод підстановки: якщо x=?(t), то
EMBED Equation.3
в) метод інтегрування частинами:
EMBED Equation.3
4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F?(x)=f(x), то
EMBED Equation.3 .
5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:
8
де EMBED Equation.3 , (n=1, 2,…).
IX.Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0
має загальний інтеграл: EMBED Equation.3 (1)
Особливі розв?язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,
де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв?язуються за допомогою підстановки y=u?x (u – нова функція).
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:
a(x)y?+b(x)y+c(x)=0
можна розв?язати за допомогою підстановки y=u?v,
де u – не нульовий розв?язок однорідного рівняння
a(x)y?+b(x)y=0, а v – нова функція.
4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо y??=f(x), то загальний розв?язок:
EMBED Equation.3 ;
б) якщо y??=f(у), то загальний інтеграл:
EMBED Equation.3 ;
в) якщо y??=f(у?), то загальний інтеграл рівняння можна
21
знайти з співвідношення: EMBED Equation.3 , де у?=р.
5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо у??=f(x, y?), то приймаючи у?=р(х), отримуємо:
EMBED Equation.3 ;
б) якщо у??=f(у, y?), то приймаючи у?=р(у), отримуємо:
EMBED Equation.3 .
6. Загальний розв?язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у??+р(х)у?+q(x)y=0 має вигляд
у=С1у1+С2у2,
де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розв?язки.
7. Загальний розв?язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у??+р(х)у?+q(x)y=f(x) має вигляд EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 - загальний розв?язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв?язок даного неоднорідного рівняння.
8. Таблиця 1.
Загальний вигляд розв?язків однорідного рівняння у??+ру?+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0.

22
(a>0,a?1); d(ln u)= EMBED Equation.3
4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)= EMBED Equation.3 ;
5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)= EMBED Equation.3
6) d(tg u)= EMBED Equation.3 12) df(u)=f?(u)du.
15.Малий приріст диференційованої функції:
f(x+?x)-f(x)?f?(x)?x
16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d2x)=0:
d2y=у''dx2.
III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx, то y= EMBED Equation.3 (незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
а) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
б) EMBED Equation.3 в) EMBED Equation.3 (А?0)
г) EMBED Equation.3
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.
1) EMBED Equation.3 (m?-1).
2) EMBED Equation.3 , (при х<0 i при x>0).
3) EMBED Equation.3 ;
4) EMBED Equation.3 (a>0, a?1).
5) EMBED Equation.3 .
7
де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).
11. Формула Сімпсона: EMBED Equation.3
де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл: EMBED Equation.3
13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x)?0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): EMBED Equation.3 .
14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією ?=f(?) (? i ? - полярні координати) і двома промінями ?=?, ?=? (?<?): EMBED Equation.3 .
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b):
EMBED Equation.3 .
16. Довжина дуги гладкої кривої ?=f(?) в полярних координатах ? і ? від точки ?=? до точки ?=? (?<?):
EMBED Equation.3 ,
17. Довжина дуги гладкої кривої х=?(t) y=?(t), задано параметрично (t0<T): EMBED Equation.3
18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):
10
9. Ряд Маклорена.
EMBED Equation.3
10. Розклад в степеневі ряди функцій:
а) EMBED Equation.3 , при ?x? < 1;
б) ln(1+x) = EMBED Equation.3 , при –1<x?1;
в) EMBED Equation.3 , при ?x? ? 1;
г) EMBED Equation.3 , при ?x? < +?;
д) EMBED Equation.3 ,
при ?x? < +?;
е) EMBED Equation.3 , при ?x? < +?;
ж) EMBED Equation.3 ,
при ?x? < 1.
11. Ряд Тейлора.
EMBED Equation.3
12. Ряди в комплексній області: EMBED Equation.3 .
13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд EMBED Equation.3 збігається, то ряд
19
EMBED Equation.3 також збігається (абсолютно).
14. Формули Ейлера: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
15. Тригонометричний ряд Фур?є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2l має вигляд:
EMBED Equation.3 , (1)
де EMBED Equation.3 , (n=0, 1, 2,…);
EMBED Equation.3 , (n=1, 2,…).
(коефіцієнти Фур?є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2? маємо EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 , (n=0, 1, 2,…).
В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює
EMBED Equation.3
16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то
EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 , (n=0,1, 2,…).
Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то
EMBED Equation.3 ,
20
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3
6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):
а) EMBED Equation.3 ; б) EMBED Equation.3
в) EMBED Equation.3 г) EMBED Equation.3
д) EMBED Equation.3
е) EMBED Equation.3
ж) EMBED Equation.3
7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то
EMBED Equation.3 , де а<c<b.
8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі: EMBED Equation.3
9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
EMBED Equation.3 де а=?(?), b=?(?).
10. Формула трапецій: EMBED Equation.3 ,
9
z=r(cos?+isin?), де r=?z?; ?=Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент:
а) ?z1+z2? ? ?z1? + ?z2?; б) ?z1z2? ? ?z1? ?z2?,
Arg z1z2=Arg z1+Arg z2;
в) EMBED Equation.3 Arg EMBED Equation.3 =Arg z1-Arg z2; (z2?0);
г) ?zn? = ?z? n; Arg zn=n Arg z (n - ціле).
6. Корінь з комплексного числа:
EMBED Equation.3 , (k=0,1,2,…,n-1)
7. Показникова формула комплексного числа:
z = r ei?, де z = ?z?, ? = Arg z.
8. Визначник другого порядку:
EMBED Equation.3 .
9. Розв’язок системи EMBED Equation.3 знаходяться за формулами: х=?х/?; у=?у/? (правило Крамера), де
EMBED Equation.3 .
10. Розв’язок однорідної системи: EMBED Equation.3 визначається за формулами: х=?1t, y=-?2t, z=?3t; (-?<t<?),
де EMBED Equation.3 -
мінори матриці EMBED Equation.3 .
12
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у:
EMBED Equation.3 де dx=?x, dy=?y.
Якщо U = f(x, y, z), то EMBED Equation.3 .
4. Малий приріст диференційованої функції:
EMBED Equation.3
5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos ?, cos ?} дорівнює:
EMBED Equation.3 .
Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і {cos ?, cos ?, cos ?} – одиничний вектор напряму l, то
EMBED Equation.3
6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:
f?х(x, y, z)=0; f?y(x, y, z)=0; f?z(x, y, z)=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Звідси EMBED Equation.3 .
8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то
17
EMBED Equation.3 ((x, y) є G).
(ознака повного диференціалу.).
VIII. Ряди.
1.Основне означення: EMBED Equation.3 .
2. Необхідна ознака збіжності ряду:
якщо ряд EMBED Equation.3 збігається, то EMBED Equation.3 .
3. Геометрична прогресія: EMBED Equation.3 , якщо ?q? < 1.
4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).
Ознака Даламбера. Нехай для ряду EMBED Equation.3 (Un>0) існує
EMBED Equation.3
Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається;
б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0.
6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд EMBED Equation.3 збігається, то ряд EMBED Equation.3 також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца. Якщо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 , то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… - збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1х+а2х2+… визначається за формулою: EMBED Equation.3 , якщо остання має зміст.
18
EMBED Equation.3 .
19. Об’єм тіла обертання:
а) навколо осі Ох: EMBED Equation.3 (a<b)
б) навколо осі Оу: EMBED Equation.3 (c<d)
20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b]:
EMBED Equation.3
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.
1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і2=-1.
Модуль комплексного числа:
EMBED Equation.3
Рівність комплексних чисел:
z1=z2?Re z1=Re z2, Im z1=Im z2
2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy: EMBED Equation.3
3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2:
a) EMBED Equation.3
б) EMBED Equation.3
в) EMBED Equation.3 (z2?0)
Зокрема Re z =1/2 (z+ EMBED Equation.3 ), Im z= (z- EMBED Equation.3 )/2і, ? z ?2=z EMBED Equation.3 .
4. Тригонометрична форма комплексного числа:
11
V. Елементи векторної алгебри.
1. Сумою векторів EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 є вектор EMBED Equation.3 .
2. Різницею векторів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 є вектор EMBED Equation.3 , де
- EMBED Equation.3 - вектор, протилежний вектору EMBED Equation.3 .
3. Добутком вектора EMBED Equation.3 на скаляр EMBED Equation.3 є вектор EMBED Equation.3 такий що EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , причому напрям вектора EMBED Equation.3 співпадає з напрямком вектора EMBED Equation.3 , якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0.
4. Вектор EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 колінеарні, якщо EMBED Equation.3 (k - скаляр).
Вектори EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 компланарні, якщо EMBED Equation.3 ,(k,l-скаляри)
5. Скалярним добутком векторів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 є число
EMBED Equation.3 , де ?=<( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
Вектори EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 ортогональні, якщо EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 = 0.
Якщо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
6. Векторним добутком векторів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 є вектор EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , (? = <(a,b)),
причому а, b, с - права трійк.
Якщо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 , де
i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток EMBED Equation.3 являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с.
Якщо EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то
14
EMBED Equation.3 .
VI. Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є:
x=rx , y=ry , z=rz , де r= EMBED Equation.3 - радіус-вектор точки М.
2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az} визначаються формулами: EMBED Equation.3 ;
cos ?=ax/a; cos ?=ay/a; cos ?=az/a,
(cos2?+cos2?+cos2?=1),
де cos ?, cos ?, cos ? - напрямні косинуси вектора а.
3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2):
EMBED Equation.3 .
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}?0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N?(r-r0)=0,…(1)
де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0.
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2)
де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:
EMBED Equation.3
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0+st (3)
15
де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}?0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (-?<t<+?).
В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
EMBED Equation.3 .
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: EMBED Equation.3 (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=N?N?, де N={A,B,C}, N?={A?,B?,C?}.
8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0):
EMBED Equation.3 .
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c:
EMBED Equation.3 .
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz:
x2+y2=2pz.
VII. Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y):
EMBED Equation.3 ,
або EMBED Equation.3
Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z).
2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у:
16
11. Визначник третього порядку:
EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв’язок системи EMBED Equation.3 визначається за формулою Крамера х=?х/?; у=?у/?; z=?z/?,
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
13. Розв’язок однорідної системи EMBED Equation.3 , якщо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
знаходяться з підсистеми: EMBED Equation.3 .
13